Überdeckung (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Überdeckung ein grundlegendes Konzept aus der Mengenlehre. Offene Überdeckungen spielen insbesondere bei der Kompaktheit von topologischen Räumen eine wichtige Rolle.

Eine Familie von Teilmengen von heißt Überdeckung von , wenn

gilt. Die Überdeckung heißt endlich (oder abzählbar), wenn die Indexmenge endlich (bzw. abzählbar) ist.

Teilüberdeckung

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Sind und Überdeckungen von , so heißt Teilüberdeckung von , falls zu jedem ein existiert mit . Das heißt, ist eine Teilmenge von .

Sind und wieder zwei Überdeckungen von , so heißt feiner als , wenn es zu jedem einen Index gibt, so dass gilt. Das Mengensystem wird dann Verfeinerung oder Verfeinerungsüberdeckung von genannt. heißt dabei gröber als ,wenn gilt. Einige Autoren unterscheiden mitunter die Teilmengenbeziehung und bezeichnen, wenn gilt, echt feiner als  ; im Falle von hingegen feiner als .

Quasischrumpfung und Schrumpfung

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Eine Verfeinerung, wie oben definiert, heißt eine Quasischrumpfung, wenn sogar gilt. Gilt zusätzlich und für alle , so spricht man von einer Schrumpfung.

Überdeckungen in topologischen Räumen

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Offene/abgeschlossene Überdeckung

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Eine Überdeckung eines topologischen Raumes heißt offen (bzw. abgeschlossen), wenn alle in offen (bzw. abgeschlossen) sind.

Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Überdeckungseigenschaften

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  • Eine Überdeckung heißt punktendlich, wenn jeder Punkt des Raumes in höchstens endlich vielen Überdeckungsmengen liegt. Ein topologischer Raum heißt metakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine punktendliche Verfeinerung besitzt.
  • Eine Überdeckung heißt lokalendlich, wenn jeder Punkt des Raumes eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Überdeckungsmengen schneidet. Bekanntlich heißt ein topologischer Raum parakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine lokalendliche Verfeinerung besitzt.
  • Eine Überdeckung heißt -lokalendlich, wenn sie als abzählbare Vereinigung von Mengenfamilien geschrieben werden kann, so dass jeder Punkt des Raumes zu jedem eine Umgebung hat, die höchstens endlich viele Mengen aus schneidet.
  • Eine Überdeckung heißt -diskret, wenn sie als abzählbare Vereinigung von Mengenfamilien geschrieben werden kann, so dass es zu jedem Punkt und zu jedem eine Umgebung dieses Punktes gibt, die höchstens eine der Mengen aus schneidet. Die -diskreten und -lokalendlichen Überdeckungen spielen eine wichtige Rolle im Satz von Bing-Nagata-Smirnow.

Ein T1-Raum ist genau dann normal, wenn jede offene lokalendliche Überdeckung eine Schrumpfung besitzt.