Banachscher Abbildungssatz

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Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre.[1] Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem verknüpft.

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:[2]

Gegeben seien Mengen     und    und dazu Abbildungen
    und   .
Dabei sei     injektiv.
Dann existieren Mengen     mit
   und   
sowie
   und   
derart, dass gilt:
   und   

Es lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen,[3] dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung     fallen gelassen wird.

Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen:

Gegeben seien Mengen     und    und dazu Abbildungen
  und    .
Dann existieren Mengen     mit
   und   
sowie
   und   
derart, dass gilt:
   und   

Beweis (Verschärfung)

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Betrachte die Abbildung mit .

Da monoton ist, besitzt nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt . Es gilt also beziehungsweise äquivalent hierzu

.

Wir setzen nun , und .

Hiermit erhalten wir wie gewünscht und .

Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.[4][5][6]

Artikel und Originalarbeiten

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  • Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. 6. Jahrgang, 1924, S. 236–239.
  • Alfred Tarski: A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications. In: Pacific Journal of Mathematics. 5. Jahrgang, 1955, S. 285–309.
  • Bronislaw Knaster: Un théorème sur les fonctions d’ensembles. In: Ann. Soc. Polon. Math. 6. Jahrgang, 1928, S. 133–134.

Einzelnachweise

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  1. Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, S. 236–239.
  2. Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7, S. 65.
  3. Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8, S. 348–349.
  4. Stefan Banach: Un théorème sur les transformations biunivoques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, Einleitung, S. 236.
  5. Heinz Lüneburg: Kombinatorik. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 1971, ISBN 3-7643-0548-7, S. 66.
  6. Heinz Lüneburg: Tools and Fundamental Constructions of Combinatorial Mathematics. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03194-8, S. 349.