CR-Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik ist der Begriff der CR-Mannigfaltigkeit eine Formalisierung der Struktur reeller Hyperflächen im . Die Abkürzung CR bezieht sich auf Augustin-Louis Cauchy und Bernhard Riemann.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist eine CR-Mannigfaltigkeit, wenn es ein integrables Unterbündel des komplexifizierten Tangentialbündels gibt, für dessen komplex konjugiertes Unterbündel punktweise gilt. (Die Integrabilitätsbedingung bedeutet, dass für alle komplexen Vektorfelder in auch der Kommutator in liegt.)

Eine äquivalente Definition ist, dass es eine Distribution mit einer fast-komplexen Struktur gibt, so dass für alle reellen Vektorfelder in auch in liegt und gleich ist.

Sei eine reelle Untermannigfaltigkeit, in lokalen Koordinaten lässt sie sich schreiben als Nullstellenmenge differenzierbarer Funktionen mit Differential maximalen Rangs. Sei der Dolbeault-Operator. Wenn nirgendwo verschwindet, dann ist eine CR-Mannigfaltigkeit.

Eine CR-Struktur heißt realisierbar, wenn sie CR-diffeomorph zu einer reellen Untermannigfaltigkeit eines ist.