Dirichlet-Kern

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Die ersten vier Dirichlet-Kerne. (Die Funktionen sind 2π-periodisch.)

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von mit einer Funktion der Periode ist die Fourier-Approximation -ten Grades für . Beispielsweise ist

wobei

der -te Fourierkoeffizient von ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L1-Norm von für logarithmisch gegen geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.[1] Explizit gilt nämlich:

Für die -Notation siehe Landau-Symbole.

Beziehung zur Delta-Distribution

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit -periodischen Funktionen:

für jede Funktion mit Periode . Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

Beweis der trigonometrischen Identität

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die trigonometrische Identität

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

Insbesondere gilt

Multipliziert man Zähler und Nenner mit , erhält man

Im Fall von erhält man

und kürzt schließlich mit .

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S. 620 (vollständige Online-Version (Google Books))

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101