Euler-Rodrigues-Formel

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In der Mathematik und Mechanik dient die Euler-Rodrigues Formel nach Leonhard Euler und Olinde Rodrigues der Beschreibung einer Drehung in drei Dimensionen. Mit vier Euler-Parametern , für die gilt, definiert

eine Drehmatrix. Diese Formel basiert auf der Rodrigues-Formel, benutzt aber eine andere Parametrisierung.

Benutzt wird die Formel in Flugsimulatoren und Computerspielen.

Die Parameter ( ) und ( ) beschreiben dieselbe Rotation, was daran liegt, dass sie in der Q-Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus-Zeichen neutralisiert werden. Von dieser Symmetrie abgesehen, definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise.

Vektorformulierung

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Aus den Parametern kann ein Vektor gebildet werden. Darin bezeichnet das hochgestellte die transponierte Matrix, sodass ein Spaltenvektor ist. Dann gilt für alle :

So motiviert sich die Bezeichnung für als skalarer Parameter und als Vektorparameter. Mit der Kreuzproduktmatrix

zeigt sich

Darin ist die Einheitsmatrix. Diese entsteht bei mit den Euler-Parametern . Bei 180°-Drehungen ist und .

Drehwinkel und Drehachse

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Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel und eine Drehachse, die durch einen Einheitsvektor mit definiert wird. Dann lauten die Euler-Parameter der Drehung:

Wenn um eine volle 360°-Drehung zunimmt, entstehen die Euler-Parameter , die – wie oben bereits bemerkt – dieselbe Drehung repräsentieren.

Der Vektorparameter lautet hier also . Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues-Formel für die Drehmatrix:

Parameter einer Drehmatrix

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Ist die Drehmatrix gegeben und sind die Euler-Parameter gesucht, dann werden sie wie folgt gewonnen[1]. Hat nur positive Diagonalelemente, dann ist

Die restlichen Parameter entstehen aus

mit

i 1 2 3
qi b c d
j 2 3 1
k 3 1 2

Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden, dann sei das größte Diagonalelement und

Mit diesem Wert und aus obiger Tabelle ermittelt sich

Berechnung der Drehmatrix einmal mit und einmal mit und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schließlich das Vorzeichen von .

Verknüpfung zweier Rotationen

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Die Verknüpfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation. Aus Euler-Parametern für die erste Drehung und für die zweite Drehung ergibt sich die kombinierte Drehung aus erster Drehung und anschließender zweiter Drehung aus den Euler-Parametern

.

Auch hier gilt wieder , was durch Einsetzen bestätigt werden kann. Letztere Identität hat über

einen direkten Bezug zum Euler’schen Vier-Quadrate-Satz und den Quaternionen.

Verbindung mit anderen Konstrukten

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Die Euler-Parameter können als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden. Der Parameter ist ihr reeller Anteil und ihr imaginärer. Mit den Einheitsquaternionen , die aus den Euler-Parametern zweier Drehungen bestehen, können die Euler-Parameter der kombinierten Drehung elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden:

Hier sind und die komplex-imaginären Einheiten, die sich mit den Hamilton-Regeln nicht kommutativ verknüpfen. Beispielsweise ist .

Die unitären 2 × 2-Matrizen

mit der imaginären Einheit der komplexen Zahlen hängen mit den Pauli-Matrizen zusammen, die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden.

Die Matrizen transformieren sich ähnlich obiger Hamilton-Regeln der komplex-imaginären Einheiten der Quaternionen:

Entsprechend können diese unitären 2 × 2-Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden. Details dazu findet sich bei Quaternion, SU(2) und Spin-Gruppe.

Die zu einer Rotation korrespondierende unitäre 2 × 2-Matrix lautet unter Verwendung der Euler-Parameter:

Einzelnachweise

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  1. Axel Volkwein: Numerische Simulation von flexiblen Steinschlagschutzsystemen. Hrsg.: Institut für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. vdf Hochschulverlag AG, 2004, ISBN 978-3-7281-2986-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. Juni 2017]).