Formelsammlung Tensoranalysis

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Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Formelsammlung Tensoralgebra

  • Operatoren wie „“ werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt:
  • Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index von eins bis drei summiert:
      .
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert:
      .
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
      .
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍={ℝ3,+,·}.
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen.
    • Standardbasis
    • Beliebige Basis mit dualer Basis
    • Der Vektor wird durchgängig Ortsvektor genannt.
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in T mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere Einheitstensor 1.
  • Koordinaten:
  • Konstanten:
  • Zeit t ∈ ℝ
  • Variablen: skalar r,s ∈ ℝ oder vektorwertig
  • Feldfunktionen abhängig von oder :
    • Skalar oder vektorwertig
    • Tensorwertig: S, T
  • Operatoren:
  • Differentialoperatoren:
    • #Nabla-Operator: 𝜵
    • #Gradient: grad
    • #Divergenz: div
    • #Rotation: rot
    • #Laplace-Operator: Δ
    • Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate:
    • Zeitableitung mit Überpunkt:
  • Landau-Symbole: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x.
  • Kontinuumsmechanik:

Kronecker-Delta

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Permutationssymbol

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Kreuzprodukt:

Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor:

Kartesische Koordinaten

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mit Basisvektoren

die Standardbasis oder allgemeiner eine beliebige Orthonormalbasis ist.

Zylinderkoordinaten

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Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:

Kugelkoordinaten

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Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:

Krummlinige Koordinaten

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Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen

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Gâteaux-Differential

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mit , skalar-, vektor- oder tensorwertig aber und gleichartig.

Produktregel:

Kettenregel:

Fréchet-Ableitung

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Existiert ein beschränkter linearer Operator , sodass

gilt, so wird Fréchet-Ableitung von nach genannt. Man schreibt dann auch

.

Ableitung von Potenzen eines Tensors

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siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Spezielle Tensoren vierter Stufe.

Allgemein mit n ∈ ℕ, >0, T0 := 1:

#Gâteaux-Differential der Inversen:

n ∈ ℕ, >0:

Orthogonaler Tensor (Q·Q=1):

Ableitungen nach dem Ort

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#Kartesische Koordinaten  :

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

#Krummlinige Koordinaten  :    mit    .

Definition des Gradienten/Allgemeines

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Definierende Eigenschaft bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:[1]

wenn

Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig. Berechnung bei skalar- oder vektorwertiger Funktion f:

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:

.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

Skalarfeld f:

Vektorfeld :[2]

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen

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#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

#Krummlinige Koordinaten:

Christoffelsymbole:

Vektorfelder:

Mit den kovarianten Ableitungen

Tensorfelder:

Soll das Argument wie beim Vektorgradient rechts vom Operator stehen, dann lautet der Tensorgradient

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:

Produktregel für Gradienten

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In drei Dimensionen ist speziell[3]

Beliebige Basis:

Definition der Divergenz/Allgemeines

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Vektorfeld  :

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:[1]

Koordinatenfreie Darstellung:

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen

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#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba.

#Kugelkoordinaten:

ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba.

Produktregel für Divergenzen

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Beliebige Basis:

Produkt mit Konstanten:

Definition der Rotation/Allgemeines

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Vektorfeld  :

Klassische Definition für ein Tensorfeld T:[1]

Allgemeine Identitäten:

Integrabilitätsbedingung[4]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

.

Siehe auch #Satz über rotationsfreie Felder.

Koordinatenfreie Darstellung:

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen

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#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

Produktregel für Rotationen

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Beliebige Basis:

Produkt mit Konstanten:

In divergenzfreien Feldern ist also:

Laplace-Operator

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Definition/Allgemeines

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Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:

„Vektorieller Laplace-Operator“:

Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen

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#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.

Bei symmetrischem T = T gilt:


Wenn zusätzlich dann ist:

Der Laplace-Operator kann zwischen den anderen Operatoren wie ein Skalar behandelt werden, also an beliebiger Stelle in die Formeln eingesetzt werden, z. B.:

Grassmann-Entwicklung

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Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation

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Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist harmonisch:

Helmholtz-Theorem

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Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.

Satz über rotationsfreie Felder

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oder

Gaußscher Integralsatz

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  • Volumen mit Volumenform und
  • Oberfläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement
  • Ortsvektoren
  • Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion des Ortes  :

Mit der #Produktregel für Gradienten, #Produktregel für Divergenzen und #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

Klassischer Integralsatz von Stokes

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Gegeben:

  • Fläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement
  • Berandungskurve der Fläche mit Linienelement
  • Ortsvektoren

Vektorwertige Funktion  :

Mit der #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:

Reynoldscher Transportsatz

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Gegeben:

  • Zeit
  • Zeitabhängiges Volumen mit Volumenform mit
  • Oberfläche des Volumes und äußerem vektoriellem Oberflächenelement
  • Ortsvektoren
  • Geschwindigkeitsfeld:
  • Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
  • Die Integrale Größe für das Volumen:

Skalare Funktion  :

Vektorwertige Funktion  :

Transportsatz für Flächenintegrale

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Gegeben:

  • Zeit
  • Ortsvektoren
  • Geschwindigkeitsfeld:
  • Zeitabhängige Fläche , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement im Volumen v integriert wird
  • Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
  • Die Integrale Größe auf der Fläche:

Skalare Funktion  :

Vektorwertige Funktion :

Transportsatz für Kurvenintegrale

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Gegeben:

  • Zeit
  • Ortsvektoren
  • Geschwindigkeitsfeld:
  • Zeitabhängige Kurve , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement im Volumen v integriert wird
  • Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird.
  • Die Integrale Größe entlang des Weges:

Skalare Funktion  :

Vektorwertige Funktion :

Kontinuumsmechanik

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Kleine Deformationen

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Ingenieursdehnungen:

Kompatibilitätsbedingungen:

Starrkörperbewegung

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Orthogonaler Tensor beschreibt die Drehung.

Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor des schiefsymmetrischen Tensors ist die Winkelgeschwindigkeit:

Starrkörperbewegung mit  :

Ableitungen der Invarianten

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mit der transponiert inversen T⊤-1 und dem Kofaktor cof(T) des Tensors T.

Funktion der Invarianten:

Ableitung der Frobenius-Norm:

Eigenwerte (aus der impliziten Ableitung des charakteristischen Polynoms):

Eigenwerte symmetrischer Tensoren:

Eigenwerte von , wo dual zu den Eigenvektoren sind :

 (keine Summe)

Die Eigenwerte von sind mit den Eigenvektoren . Hier ist:

 (keine Summe)

mit und der Überstrich markiert den konjugiert komplexen Wert.

Konvektive Koordinaten

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Konvektive Koordinaten

Kovariante Basisvektoren ,   

Kontravariante Basisvektoren ,   

Deformationsgradient

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient

Kovarianter Tensor

Kontravarianter Tensor

Geschwindigkeitsgradient

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Räumlicher Geschwindigkeitsgradient:

Divergenz der Geschwindigkeit:

Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke ist der duale axiale Vektor

Objektive Zeitableitungen

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Bezeichnungen wie in #Konvektive Koordinaten.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient

Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit

Wirbel- oder Spintensor

Objektive Zeitableitungen von Vektoren

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Gegeben::

Objektive Zeitableitungen von Tensoren

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Gegeben:

Materielle Zeitableitung

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#Kartesische Koordinaten:

#Zylinderkoordinaten:

#Kugelkoordinaten:

Materielle Zeitableitungen von Vektoren werden mittels daraus zusammengesetzt.

  1. a b c Morton E. Gurtin: „The linear theory of elasticity.“ In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2.: Festkörpermechanik II / C. Truesdell (Bandherausgeber). Springer, Berlin 1972, ISBN 3-540-05535-5, S. 10 ff.
  2. In der Literatur (z. B. Altenbach 2012) wird auch die transponierte Beziehung benutzt:
    Dann muss, um die Formeln zu vergleichen, und vertauscht werden.
  3. Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 367, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
  4. R. Greve (2003), S. 111.