Konchoide von Dürer

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Konchoide von Dürer
Konchoide von Dürer

Die Konchoide von Dürer, oder auch Muschellinie, ist eine spezielle ebene algebraische Kurve. Albrecht Dürer zeichnete sie erstmals in seinem Buch Underweysung der Messung (1. Buch, Abb. 38) und nannte sie „ein muschellini“.

  • Kartesische Koordinaten:
  • Parametergleichung (2 Kurvenäste):

(Der zweite Kurvenast wurde von Dürer nicht entdeckt.)[1]

  • Für entartet die Kurve zu dem Geradenpaar und einem Kreis .
  • Für entarten die beiden Kurvenäste zu der Geraden .
  • Für hat die Kurve eine Spitze bei .
Dürers Konchoide (Muschellinie), eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, siehe Animation

Es beginnt mit dem Bestimmen des Punktes (siehe Bild) auf einer Geraden und dem Abtragen sowie Beschriften von sechzehn gleich langen Teilen ab . Anschließend wird mit dem Setzen des Punktes die Länge der Strecke mit ca. achtzehn dieser Teile festgelegt. Es folgt eine Senkrechte im Punkt der Strecke , auf dem wieder sechzehn Teile, gleich denen auf , aufzutragen sind.

Weiter geht es mit einem Strahl ab Punkt der Strecke der durch den Punkt der Senkrechten zu zu ziehen ist. Anschließend wird der Punkt des Kurvenastes (blau, beginnt im Punkt ) durch Abtragen der Strecke auf dem Strahl erzeugt. Für das Bestimmen der Punkte bis des Kurvenastes (blau) gilt Gleiches, dementsprechend beginnen dann die Strahlen in den Punkten bis der Strecke .

Die so erzeugte Schar von Linien liefert eine Parabel als Hüllkurve des Kurvenastes beginnend im Punkt und sechzehn Zwischenpunkte des Kurvenastes (blau) beginnend im Punkt .[2]

Für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal bedarf es noch des Eintragens der Kurvenbögen für den Kurvenast (blau); sie ergeben die Näherung (Approximation) eines Teils der Muschellinie. Um den Kreisbogen vom Punkt bis Punkt ziehen zu können, erzeugt man zuerst die (nicht eingezeichneten) Mittelsenkrechten der Abstände und . Die beiden Mittelsenkrechten treffen sich im (nicht eingezeichneten) Mittelpunkt des Kreisbogens . Anschließend wird der Kreisbogen mit Radius von bis Punkt gezogen. Der Mittelpunkt des Kreisbogens von Punkt bis wird mittels der bereits vorhandenen Mittelsenkrechten des Abstandes und der Mittelsenkrechten des Abstandes gefunden. Diese Vorgehensweise setzt man fort bis schließlich die Mittelsenkrechten der Abstände und den Mittelpunkt für den letzten Kreisbogen liefern.

Alternativ kann die Linie des Kurvenastes (blau) auch mithilfe eines Kurvenlineals erzeugt werden.

Wikisource: Underweysung der Messung – Quellen und Volltexte

Einzelnachweise

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  1. Ingmar Rubin: Albrecht Dürer und die Mathematik der Renaissance. (PDF) 5 Parameterdarstellung der Kurve. zum, S. 8, archiviert vom Original am 14. Februar 2022; abgerufen am 25. September 2023.
  2. Max Steck: Dürers Gestaltlehre der Mathematik und der bildenden Künste. Band 1. Max Niemeyer Verlag, Halle (Saale) 1948, 19. Conchoide oder Muschellinie, S. 37–38 (uni-heidelberg.de [abgerufen am 26. September 2023]).