Quotientenregel

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Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. In Kurzschreibweise lautet sie

.

Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen und von einem Intervall in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle mit differenzierbar, dann ist auch die Funktion mit

an der Stelle differenzierbar und es gilt

.

Ist , so erhält man für durch Anwendung der Quotientenregel

.

Ausmultipliziert ergibt sich

.
Quotientenregel
Quotientenregel

Der Quotient kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten und sind (siehe Abbildung). Wenn um anwächst, ändert sich um und um . Die Änderung der Steigung ist dann

Dividiert man durch , so folgt

.

Bildet man nun Limes , so folgt

.

Weitere Herleitungen

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Gegeben sei Nach der Produktregel gilt:

Mit der Kehrwertregel

folgt

Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung . Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass existiert.

folglich:

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind: