Stone-Raum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der mengentheoretischen Topologie ist ein Stone-Raum (auch proendlicher Raum, proendliche Menge oder Boolescher Raum) ein kompakter und total unzusammenhängender Hausdorff-Raum.

Für einen topologischen Raum sind die folgenden Aussagen äquivalent:

In diesem Fall heißt Stone-Raum[3].

Kategorielle Eigenschaften

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen ist äquivalent zur Pro-Kategorie der Kategorie der endlichen Mengen. Ein Limes von Stone-Räumen in der Kategorie der topologischen Räume ist wieder ein Stone-Raum[5]. Nach dem Darstellungssatz für Boolesche Algebren ist die Kategorie der Stone-Räume antiäquivalent zur Kategorie der booleschen Algebren.

Lokale Stone-Räume

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum ist lokal Stone bzw. lokal proendlich, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die mit der Teilraumtopologie ein Stone-Raum ist. Der Körper der -adischen Zahlen ist lokal Stone, aber nicht Stone. Typische Beispiele für lokale Stone-Räume sind lokal proendliche Gruppen.

Verdichtete Mathematik

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stone-Räume sind die Grundbausteine der verdichteten Mathematik (englisch condensed mathematics, deutsch auch ‚kondensierte Mathematik‘ genannt[6]). Eine verdichtete Menge ist eine Garbe auf einer Kategorie von Stone-Räumen.[7]

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Stacks project: Tag 08ZY
  2. Stacks project: Tag 0905
  3. Stacks project: Tag 08ZX
  4. Scholze: Warning 2.6
  5. Stacks project: Tag 0ET8
  6. Davide Castelvecchi: Der Umbau der Mathematik mit Computerunterstützung, in: Spektrum Magazin, Oktober 2021, S. 21–22, online vom 15. September 2021
  7. Scholze: Def. 1.2, Def. 2.1, Def. 2.11